Biegelinie, Absenkung und Neigung
Defintion
Belastet man ein stabförmiges Bauteil, dessen Querschnitt deutlich kleiner ist als seine Länge mit einer Einzelkraft senkrecht zur Längsachse, dann deformiert sich der elastische Balken. In diesem Fall spricht man von reiner Biegung.Dabei lässt sich durch die inneren Kräfte (die Schnittgrößen)eine Beziehung zwischen der Absenkung w, der Neigung w′ und der Belastung herstellen.Anwendung
Die Biegung des Balkens ist eine wichtige Kenngröße für die richtige Dimensionierung und Auslegung von Balken und Wellen. Die Durchbiegung eines Balkens hängt dabei von der Belastung, dem E-Modul und dem Flächenträgheitsmoment ab.Differentialgleichung der Biegelinie
Die Differentialgleichung der Biegelinie dient dazu um die Absenkung und Neigung an beliebigen Stellen im Balken zu berechnen. Dies ist allerdings nur möglich, wenn die lineare Elastizitätstheorie erfüllt ist:Die (elastische) Verformung muss klein im Vergleich zu den Bauteilabmessung sein und der Balkenquerschnitt muss auch nach der Deformation senkrecht auf die deformierte Balkenachse stehen (Ebenbleiben der Querschnitt).
Sind diese Bedingungen erfüllt gilt:
w″=MEJ
Häufige Absenkungen und Neigungen
w(x)=F6EJy(3lx2−x3)
wB=Fl33EJy
w′B=Fl22EJy
w(x)=M2EJyx2
wB=Ml22EJy
w′B=MlEJy
w(x)=q24EJy(6l2x2−4lx3+x4)
wB=ql48EJy
w′B=ql36EJy
w(x)=q0120lEJy(20l3x2−10l2x3+x5)
wB=11q0l4120EJy
w′B=q0l38EJy
w(x)=q0120lEJy(10l3x2−10l2x3+5lx4−x5)
wB=ql430EJy
w′B=q0l324EJy
w(x)=F6EJy(3ax2−x3),0≤x≤aw(x)=F6EJy(3a2x−a3),a≤x≤l
w(l)=F6EJy(3a2l−a3)
w′(l)=Fa22EJy
w(x)=q24lEJy(l3x−2lx3+x4)
w(l/2)=5ql4384EJy
w′A=ql324EJyw′B=−ql324EJy
w(x)=M6EJy(l2x−x3)
w(l/2)=Ml216EJyw(max)=Ml23√9EJy
w′A=Ml6EJyw′B=−Ml3EJy