Definition
Das Massenträgheitsmoment (Moment of Inertia) ist eine physikalische Größe, welche direkt von der Abmessung des starren Körpers abhängt. Gemeinsam mit der Winkelgeschwindigkeit ist es die zentrale Größe um den Drall eines Körpers zu bestimmen. Je weiter die Massen von der Rotationsachse entfernt ist, desto größer ist die Trägheit.Sonderfall Punktmasse
Eine Punktmasse besitzt bezüglich sich selbst kein Massenträgheitsmoment, da sie auch keine Ausdehnung hat. Liegt die Punktmasse jedoch nicht auf der Drehachse, gibt es dennoch den Steineranteil des Massenträgheitmoments.
Die Abbildung zeigt die wichtigsten Massenträgheitsmomente wie: Zylinder, Hohlzylinder, Kreisring und schlanker Stab.
Zylindermantel
Radius R, Länge l
$$I_1=mR^2 $$
$$I_2=\frac{mR^2}{2}+\frac{ml^2}{12} $$
$$I_3=\frac{mR^2}{2}+\frac{ml^2}{12} $$
dünner Kreisring
l=0
$$I_1=mR^2 $$
$$I_2=\frac{mR^2}{2} $$
$$I_3=\frac{mR^2}{2} $$
Vollzylinder
Radius R, Länge l
$$I_1=\frac{mR^2}{2} $$
$$I_2=\frac{mR^2}{4}+\frac{ml^2}{12} $$
$$I_3=\frac{mR^2}{4}+\frac{ml^2}{12} $$
dünne Scheibe
l=0
$$I_1=\frac{mR^2}{2} $$
$$I_2=\frac{mR^2}{4} $$
$$I_3=\frac{mR^2}{4} $$
schlanker Stab
R=0
$$I_1=0 $$
$$I_2=\frac{ml^2}{12} $$
$$I_3=\frac{ml^2}{12} $$
Hohlzylinder
Radius R, Länge l
$$I_1=\frac{m}{2} (R_1^2+R_2^2) $$
$$I_2=\frac{m}{4} (R_1^2+R_2^2+\frac{l^2}{3}) $$
$$I_3=\frac{m}{4} (R_1^2+R_2^2+\frac{l^2}{3}) $$
dünnwandiger Hohlzylinder
R1=R2=R
$$I_1=mR^2 $$
$$I_2=\frac{m}{4} (2R^2+\frac{l^2}{3}) $$
$$I_3=\frac{m}{4} (2R^2+\frac{l^2}{3}) $$
Kugel
Radius R
$$I_1=\frac{2mR^2}{5}$$
$$I_2=\frac{2mR^2}{5}$$
$$I_3=\frac{2mR^2}{5}$$
dünne Kugelschale
Radius R
$$I_1=\frac{2mR^2}{3}$$
$$I_2=\frac{2mR^2}{3}$$
$$I_3=\frac{2mR^2}{3}$$
Quader
Seite a, Seite b, Höhe l
$$I_1=\frac{m(a^2+b^2)}{12}$$
$$I_2=\frac{m(a^2+l^2)}{12}$$
$$I_3=\frac{m(b^2+l^2)}{12}$$
dünne Platte
Seite a, Seite b, Höhe l
$$I_1=\frac{m(a^2+b^2)}{12}$$
$$I_2=\frac{m a^2}{12}$$
$$I_3=\frac{m b^2}{12}$$
schlanker Stab
Seite a, Seite b, Höhe l
$$I_1=0$$
$$I_2=\frac{ml^2}{12}$$
$$I_3=\frac{ml^2}{12}$$
drei schlanke Stäbe
Rotorblattwinkel 120°, Länge l
$$I_1=ml^2$$
$$I_2=\frac{ml^2}{2}$$
$$I_3=\frac{ml^2}{2}$$
zwei schlanke Stäbe
jeweils Länge l
$$I_1=\frac{2ml^2}{3}$$
$$I_2=\frac{2ml^2}{3}$$
$$I_3=0$$
Kegel
Radius R, Höhe l
$$I_1=\frac{3mR^2}{10}$$
$$I_2=\frac{m(3R^2+2l^2)}{20}$$
$$I_3=\frac{m(3R^2+2l^2)}{20}$$
Torus
Radius R
$$I_1=\frac{m}{4}(4R^2+3r^2)$$
$$I_2=\frac{m}{8}(4R^2+5r^2)$$
$$I_3=\frac{m}{8}(4R^2+5r^2)$$
Solltest du Fragen, Anregungen, oder Verbesserungsvorschläge haben, sende uns deine Nachricht an: feedback@easyclass.at