Massenträgheitsmoment

Definition

Das Massenträgheitsmoment (Moment of Inertia) ist eine physikalische Größe, welche direkt von der Abmessung des starren Körpers abhängt. Gemeinsam mit der Winkelgeschwindigkeit ist es die zentrale Größe um den Drall eines Körpers zu bestimmen. Je weiter die Massen von der Rotationsachse entfernt ist, desto größer ist die Trägheit.

Sonderfall Punktmasse

Eine Punktmasse besitzt bezüglich sich selbst kein Massenträgheitsmoment, da sie auch keine Ausdehnung hat. Liegt die Punktmasse jedoch nicht auf der Drehachse, gibt es dennoch den Steineranteil des Massenträgheitmoments.
Die Abbildung zeigt die wichtigsten Massenträgheitsmomente wie: Zylinder, Hohlzylinder, Kreisring und schlanker Stab.
Zylindermantel
Radius R, Länge l
Massenträgheitsmoment Zylindermantel $$I_1=mR^2 $$ $$I_2=\frac{mR^2}{2}+\frac{ml^2}{12} $$ $$I_3=\frac{mR^2}{2}+\frac{ml^2}{12} $$
dünner Kreisring
l=0
Massenträgheitsmoment Kreisring $$I_1=mR^2 $$ $$I_2=\frac{mR^2}{2} $$ $$I_3=\frac{mR^2}{2} $$
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Vollzylinder
Radius R, Länge l
Massenträgheitsmoment Vollzylinder $$I_1=\frac{mR^2}{2} $$ $$I_2=\frac{mR^2}{4}+\frac{ml^2}{12} $$ $$I_3=\frac{mR^2}{4}+\frac{ml^2}{12} $$
dünne Scheibe
l=0
Massenträgheitsmoment dünne Scheibe $$I_1=\frac{mR^2}{2} $$ $$I_2=\frac{mR^2}{4} $$ $$I_3=\frac{mR^2}{4} $$
schlanker Stab
R=0
Massenträgheitsmoment schlanker Stab $$I_1=0 $$ $$I_2=\frac{ml^2}{12} $$ $$I_3=\frac{ml^2}{12} $$
Hohlzylinder
Radius R, Länge l
Massenträgheitsmoment Hohlzylinder $$I_1=\frac{m}{2} (R_1^2+R_2^2) $$ $$I_2=\frac{m}{4} (R_1^2+R_2^2+\frac{l^2}{3}) $$ $$I_3=\frac{m}{4} (R_1^2+R_2^2+\frac{l^2}{3}) $$
dünnwandiger Hohlzylinder
R1=R2=R
Massenträgheitsmoment dünnwandiger Hohlzylinder $$I_1=mR^2 $$ $$I_2=\frac{m}{4} (2R^2+\frac{l^2}{3}) $$ $$I_3=\frac{m}{4} (2R^2+\frac{l^2}{3}) $$
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Kugel
Radius R
Massenträgheitsmoment volle Kugel $$I_1=\frac{2mR^2}{5}$$ $$I_2=\frac{2mR^2}{5}$$ $$I_3=\frac{2mR^2}{5}$$
dünne Kugelschale
Radius R
Massenträgheitsmoment dünne Kugelschale $$I_1=\frac{2mR^2}{3}$$ $$I_2=\frac{2mR^2}{3}$$ $$I_3=\frac{2mR^2}{3}$$
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Quader
Seite a, Seite b, Höhe l
Massenträgheitsmoment Quader $$I_1=\frac{m(a^2+b^2)}{12}$$ $$I_2=\frac{m(a^2+l^2)}{12}$$ $$I_3=\frac{m(b^2+l^2)}{12}$$
dünne Platte
Seite a, Seite b, Höhe l
Massenträgheitsmoment dünne Platte $$I_1=\frac{m(a^2+b^2)}{12}$$ $$I_2=\frac{m a^2}{12}$$ $$I_3=\frac{m b^2}{12}$$
schlanker Stab
Seite a, Seite b, Höhe l
Massenträgheitsmoment schlanker Stab $$I_1=0$$ $$I_2=\frac{ml^2}{12}$$ $$I_3=\frac{ml^2}{12}$$
drei schlanke Stäbe
Rotorblattwinkel 120°, Länge l
Massenträgheitsmoment Rotor $$I_1=ml^2$$ $$I_2=\frac{ml^2}{2}$$ $$I_3=\frac{ml^2}{2}$$
zwei schlanke Stäbe
jeweils Länge l
Propeller $$I_1=\frac{2ml^2}{3}$$ $$I_2=\frac{2ml^2}{3}$$ $$I_3=0$$
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Kegel
Radius R, Höhe l
Massenträgheitsmoment Kegel $$I_1=\frac{3mR^2}{10}$$ $$I_2=\frac{m(3R^2+2l^2)}{20}$$ $$I_3=\frac{m(3R^2+2l^2)}{20}$$
Torus
Radius R
Massenträgheitsmoment Torus $$I_1=\frac{m}{4}(4R^2+3r^2)$$ $$I_2=\frac{m}{8}(4R^2+5r^2)$$ $$I_3=\frac{m}{8}(4R^2+5r^2)$$
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